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　　分形幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)非線性科學(xué)中的一個重要分支，通過迭代、遞歸等算法可產(chǎn)生大量風(fēng)格迥異、圖案奇美、變幻無窮的圖形或圖像。借助于計算機程序，把這些分形圖案顯現(xiàn)出來，將可能使其在生物形態(tài)學(xué)、藝術(shù)創(chuàng)作設(shè)計等研究應(yīng)用領(lǐng)域得到更為廣闊的發(fā)展[1 - 3]。如何將分形圖案應(yīng)用于紡織藝術(shù)，已成為紡織行業(yè)研究的重要內(nèi)容。文獻[4 - 7 ]把采用分形理論中L 系統(tǒng)方法生成的圖形運用于紡織品組織紋路和印花圖案設(shè)計，均取得了良好的實用效果；文獻[8 ]也就分形理論中的Mandelbrot 集 （ 下文簡稱M 集） 應(yīng)用于數(shù)碼紋織產(chǎn)品開發(fā)做了初步探討；但將分形圖案用于織物印花設(shè)計的研究卻少有報道。

　　分形理論中的M 集，其藝術(shù)圖案產(chǎn)生于函數(shù)的不斷迭代，通過對M 集基本迭代式進行不同的數(shù)學(xué)變換方法，運用計算機繪圖方法，可得到大量精美的 Julia 集圖形。這些圖案均適用于紡織印花圖案設(shè)計的新資源。本文對基于分形理論中M 集變化得到的藝術(shù)圖形的生成原理和變換方式以及在絲綢印花制品上的應(yīng)用做了研究。

　　1 M 集分形圖的生成原理及實現(xiàn)

　　M 集是分形幾何學(xué)中的一類典型分形集，是用計算機研究二次復(fù)動力系統(tǒng)得到的復(fù)雜圖形。 1. 1 Mandelbrot 集的定義方法在復(fù)平面中，迭代表達式為:

　　式中Z 和C 都是復(fù)數(shù)，由各自的實部和虛部組成。分離Z 和C 的實部和虛部，則:

　　令初始值Z0 = 0 （ 即Z0 = 0 + 0·i ） ，C ≠0 （ 其中 p 和q 在各步迭代中都保持為常數(shù)）。迭代計算中，把前一個Z 值的輸出作為下一個Z 值的輸入，代入 Zk ← Z2k + C 反復(fù)運算，得到一連串的復(fù)數(shù)。每做一次迭代，新的復(fù)數(shù)就離開前一個復(fù)數(shù)一段距離，就如同一個點在復(fù)平面上跳舞[9]。

　　1. 2 M 集圖形的實現(xiàn)原理

　　在復(fù)平面的某一部位，令C 作有規(guī)律的變化，對不同的C 值進行迭代，如果計算結(jié)果達到無窮大，則C 被著成白色，否則，著黑色，這樣就顯示出 M 集的形狀。若將達到無窮大的點，根據(jù)其發(fā)散速度的快慢用不同色調(diào)來表示，就形成一幅極其吸引人的彩色圖形。由系統(tǒng)生成的M 集的圖形見圖1。

　　2 M 集函數(shù)變換方法

　　2. 1 高次冪M 集

　　圖1 示出最經(jīng)典的的圖形，即迭代式中Z2k的冪指數(shù)是2，對于k > 2 的廣義Mandelbrot集即高次冪Mandelbrot 集，其集圖像更為豐富[10]。圖2 示出3 階M 集到10 階M 集的圖形。

　　2. 2 由基本函數(shù)變換得到的M 集

　　對基本函數(shù)　的表達式稍加變換，可得到意想不到的效果。

　　2. 2. 1 函數(shù)變換

　　1） 改變迭代式中x 與y 的位置。把原來從Zk到Zk +1的迭代過程式中的x2k和y2k改變位置，則轉(zhuǎn)換成:

　　2） 改變算術(shù)符號的圖形。把原來從Zk到Zk +1的迭代過程式中實部的負號變成正號，變換如下:

　　函數(shù)變換后得到的M 集圖形如圖3（ b） 所示。

　　3） 互換迭代式之后的圖形。把原來從Zk到Zk +1的迭代過程式中實部的2xk yk和虛部的x2k- y2k互換，變換如下:

　　函數(shù)變換后得到的M 集圖形如圖3（ c） 所示。

　　2. 2. 2 函數(shù)迭加

　　對M 集的二次冪迭代式和三次冪迭代式進行函數(shù)迭加變換，得到的圖形如圖4 （ a） 所示。對M 集的二次冪迭代式和三角函數(shù)（ 正弦函數(shù)） M 集的三次冪做迭加，得到的圖形如圖4（ b） 所示。

　　2. 3 三角函數(shù)M 集

　　C 。則三角函數(shù)和的M 集分形圖如圖5 所示。

　　2. 4 高階三角函數(shù)M 集

　　將高階與三角函數(shù)M 集結(jié)合起來，即可得到高階三角函數(shù)M 集。圖6 為高階三角函數(shù)M 集圖。圖6（ a） ～ （ f） 展示的生成圖形依次為:二階余弦函數(shù)、二階正弦函數(shù)M 集、三階余弦函數(shù)、三階正弦函數(shù)M 集、四階余弦函數(shù)、四階余弦函數(shù)M 集的圖形。

　　3 M 集圖形在蠶絲織物上的印花實驗

　　數(shù)碼導(dǎo)帶噴射印花機是目前世界上最新型的數(shù)碼噴印設(shè)備，它吸取傳統(tǒng)印花機的優(yōu)點，采用導(dǎo)帶輸送染料的方式，使一些原本無法在普通噴印機上噴印的彈力針織面料和毛巾、定位花型、單塊羊絨面料、蠶絲等都能在導(dǎo)帶機上制出獨一無二的花型。同時數(shù)碼導(dǎo)帶噴射印花機還設(shè)置了升降功能，以適應(yīng)不同厚度的面料類型，使噴印的范圍更為廣泛，也為實際生產(chǎn)提供了更廣闊的紡織品圖案設(shè)計領(lǐng)域。

　　選擇圖2（ c）、圖4（ b） 作為基本圖案，經(jīng)計算機處理后，以bmp 文件形式傳送至宏華公司的DBP-1600型數(shù)碼導(dǎo)帶噴射印花機，對素縐緞面料進行活性染料噴墨印花實驗，生產(chǎn)的桑蠶絲織物印花樣品如圖7 所示。

　　4 結(jié)論

　　1） 根據(jù)分形理論中的Mandelbrot 集計算機圖像生成原理，可得到多種圖案花型。這些圖案花型具有精細的線條結(jié)構(gòu)，色彩鮮艷，裝飾性很強，適合紡織印花的藝術(shù)表現(xiàn)，具有較強的市場潛力。

　　2） 借助計算機可視化技術(shù)，將基于M 集變換設(shè)計出的印花圖案通過數(shù)碼導(dǎo)帶噴射印花機對桑蠶絲織物進行工藝實驗，在織物上較為完美地展現(xiàn)了M 集的可視化信息，具有較強的可操作性，只需通過顏色的改變就可達到多種不同的印花效果。

　　3） 基于M 集的印花圖案設(shè)計方法與數(shù)碼導(dǎo)帶印花技術(shù)的完美結(jié)合，帶來了紡織印染業(yè)中的技術(shù)革命，使個性化、小批量、反應(yīng)快的市場需求得到了體現(xiàn)，同時實現(xiàn)了低能耗、無污染、無噪音的制造過程。

　　來源: 姜會鈺，鄭春玲，劉素一（來源紡織學(xué)報）